コマネチ大学数学科 23回
ゼータ関数。聞き覚えはあるのでたぶん習ったのだと思うんだけど、全く思い出せない。たぶん勉強している時も理解していなかったのだろう。
1を無限に足したら無限だけど繰り込むと-1/2？ 繰り込みってなんだっけ？ なぜそうなるのかさっぱり分からない。
番組の中で表示されている（具体的な説明は端折られた）解説によると、
無限級数だと定義域が限定されていて
無限大の困難などが生じるが
その無限級数を含む
もっとよい関数がみつかれば
定義域が拡がって
結果的に無限を有限にくりこむことができる
1 + x + x2 + x3 + …のグラフは
マイナス1からプラス1でしか定義できない
（その外では無限になったり定まらなかったりする）その「本体」である
1/(1-x)という関数は
x = 1以外のところではきちんと定義されるので
例えばx = 5でも有限になる。
1/(1-5) = -1/4
前半と後半は分かるけど、その関係がよく分からないな。「本体」ってなんだろう。
1/1s + 1/2s + 1/3s …のグラフの場合
s がプラスでないと定義できないが
その「本体」なら s がマイナスでも定義できる。同様にゼータ関数の場合でも
無限を有限にくりこめる
ホワイトボードの内容もここに写させてもらう。
①調和級数
1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10 …
= 1/2 ( 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + …) ----- ∞ 発散
②ゼータ関数(オイラー・リーマン)
ζ(s) = 1/1s + 1/2s + 1/3s + 1/4s + …
太陽 ←→ 月
ζ(1) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … = ∞
ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … = π2/6
ζ(0) = 1 + 1 + 1 + 1 + … = -1/2
ζ(-1) = 1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12
ζ(-2) = ○
③エータη(s) = 1/1s - 1/2s + 1/3s - 1/4s + 1/5s - …
= ζ(s) - 2(1/2s + 1/4s + 1/6s + …)
= ζ(s) - 2・1/2s (1 + 1/2s + 1/3s + …)
= ζ(s) - 1/(2s-1)ζ(s)
= (1 - 1/(2s-1)ζ(s)
ζ(0) = -η(0)
ζ(-1) = -(1/3) η(-1)
1 + x + x2 + x3 + … = 1/(1-x)
｜
｜ x = -1
｜ 1-1+1-1+… = η(0) = 1/(1-(-1)) = 1/2
｜ ∴ζ(0) = -1/2
｜
↓2乗
1 + 2x + 3x2 + 4x3 + … = 1/(1-x)2
x = -1
1 - 2 + 3 - 4 + …
= η(-1)
= 1/(1-(-1))2
= 1/4
∴ζ(-1) = -1/12
①はまあ分かるな。直感的にそんな気がするってだけだけど……
②のζ(1)、ζ(2)も、そうなるんだと言われれば、直感に反してないのでそうなんだろうと思える。足す数がどんどん小さくなっていくのだからsがある値より大きくなると収束し始めるのだろうと想像できる。
直感的に「なんで？」と感じるのは、ζ(0)、ζ(-1)だ (ζ(-2)は丸印になっていてホワイトボードに書いてなかった)。
足していく数はどんどん大きくなっていき、それを無限まで足すのだから無限になりそうだ。
そのζ(-1)の計算が③らしい。
1つおきにマイナスが現れるη(s)を新しく定義して、
η(s) = (1 - 1/(2s-1)ζ(s)
となる。
具体的にsに値を入れると
ζ(0) = -η(0)
ζ(-1) = -(1/3) η(-1)
となる。
ここまでは分かる。
問題は次の式だ。
1 + x + x2 + x3 + … = 1/(1-x)
ここがよく分からないな。なんとなく見覚えはあるような気がするんだけど…
この式さえ突破できれば、その後は普通の計算だ。
左辺の式は-1から1の間では1/(1-x)になるということか？
だとすると、定義できる範囲だけで等価となる式を作って、その式を元の式で本来定義できない範囲に使用するということか？
ただ、変形した式が元の式とイコールになるのは、元の式で定義できる範囲だけだ。本来定義できない範囲では2つの式は違う。
いや、なんか違うな。x = -1 限定だからな。
よく考えたら、そもそも
η(0) = 1/2
も直感と違う。
1-1+1-1+…
を繰り返したら、普通の有限回の計算なら必ず 0 か 1 のどちらかだ。なぜ間を取った値になるんだろう。
やっぱり
1 + x + x2 + x3 + … = 1/(1-x)
どうしてこの式が成り立つのかが分からないと、その先も分からないな。
繰り込み - Wikipedia
ここでは物理的な説明だ。
ゼータ函数 - Wikipedia
俺には難解すぎる。ちょこちょこっと調べて分かろうとするのが虫が良すぎるんだな。ほんとに知りたかったら本でも買ってきてちゃんと勉強すればいいんだろう。でも、今は番組を見た勢いで考えてるけどそれほどの意欲と気力があるわけでもない。
